В данной статье вы узнаете о том, как решать пределы?
Решение пределов является одним из важных разделов математического и вычислительного анализа. Многие ученики и учащиеся вузов справляются с данной проблемой свободно, когда другие постоянно задают один и тот же вопрос: «Как решать пределы?». Нахождение пределов тема актуальная. Существует множество способов решения пределов. Идентичные пределы можно найти согласно закону Лопиталя и без его помощи. Однако сначала нам следует разобраться, что же такое предел?
Предел имеет три части
Первая — это всем известный значок lim, вторая, это то, что написано под ним.
Например: x -> 1. Данная запись будет читаться так (икс стремиться к 1).
Третья часть это сама функция, которая стоит после знака lim.
Хотелось бы уточнить, значение икс стремится к 1, это то значение x, при котором х принимает определенные значения, которые близки к единице или почти с ней совпадают.
Решать пределы, дело легкое, если в них разобраться.
Первое правило решения пределов
В случае если предоставлена нам функция, попросту подставьте число в функцию. Это элементарные пределы, которые действительно встречаются в примерах и очень часто.
Есть пределы, где х->? Тогда бесконечность это та функция, где икс бесконечно возрастает. Значение такой функции является (1-х). Чтобы решить данный предел, нам необходимо следуя нашему первому правилу подставить значение (1-х) в функцию и получить ответ.
Из вышесказанного, для того чтобы обучиться решать наиболее непростые пределы, вы обязаны помнить правила решение элементарных пределов.
- Правило первое: Дана функция, подставляем число в функцию.
- Правило второе: Дана бесконечность, подставляем (1-х) в функцию.
Как только вы это поймете, то сразу начнете замечать элементарные пределы и сможете их решить. Вот мы и научились решать легкие пределы. Теперь ознакомимся с решением более сложных пределов.
Существует множество пределов с ? Одним из таких вариантов является предел вида ?/?
Такая функция возможна, когда х->?, а предел выражен в виде дроби.
Многие интересуются, просто ли решить такой предел?
Первое, что вы должны запомнить, вам необходимо найти в числителе х по старшинству, т.е. в самой большей степени из всех х, которые есть в числителе.
lim+(х->?)?((2х^2-3х-4)/(3х^2+1+х))^ ?
Мы видим, что старшая степень в числителе это 2
Теперь, нам необходимо сделать тоже самое только со знаменателем. В знаменателе старшая степень тоже 2.
Принцип: Для того чтобы разрешить эту функцию, нам следует и делимое и делитель разделить на х в самой старшей степени в пределе. В случае если бы она равнялась 2. Если бы степень числителя равна была 4, а знаменателя 2, то мы бы выбирали 4. Потому, что это самая старшая степень в данной нам функции. Смотрите, как быстро мы обучились решать пределы вида ?/?
Теперь рассмотрим, решение самых сложных пределов. Это вид 0/0.
Подобные пределы очень напоминают нам решение пределов вида бесконечность на бесконечность. Но есть отличие, которое важно помнить при решении. Когда икс стремится к бесконечности, то он бесконечно увеличивается, а тут он равен 0, т.е. конечному числу.
Чтобы разрешить подобную функцию, нам следует, и числители и знаменатель разложить на множители. Чтобы получить элементарный дискриминант, известный нам с 6 класса. Вычисляем дискриминант и подставляем ответы в нашу функцию. Находим конечный ответ.
Правило: если в числителе или знаменателе можно некое число вынести за данную скобку, то мы, не думая, обязательно выносим.
Существует множество разных способов решения более сложных пределов. Одним из них является метод замены. Заменить любую переменную легче, чем постоянно раскладывать на множители. Очень часто такой способ применяется для того, чтобы из сложного предела сделать первый замечательный предел.
Давайте рассмотрим детальнее на примере
Пример: lim+(х->0)?(arctg4x/7x)^ ?
Решение: Мы видим, что наша функция представлена в виде неопределенности 0/0 , которую мы уже прошли
lim+(х->0)?(arctg4x/7x)^ ? = 0/0
Мы видим в пределе арктангенс, нехорошая функция, от которой нам необходимо избавиться. Очень комфортно нам будет, если мы арктангенс превратим в одну простую и легкую букву.
Сделаем замену: arctg заменим на у. И в процессе решения арктангенс будем именовать как у. Если наш икс стремится к нулю, арктангенс мы заменили на у, тогда записываем, что у тоже стремится к нулю. Все, что нам осталось в знаменателе выразить икс через игрек. Для этого в обе части равенства мы добавляем tg
Выражения приобретёт такой вид:
tg ( arctg4x)=tgy
С левой стороны две функции мы убираем, они взаимообратные и пропадают.
У нас остается:
4х = tgу, отсюда: х= tgy/4
А теперь осталось самое элементарное:
lim+(х->0)?(y/(7*tgy/4))^ ?
Дальше решаем первый замечательный предел.
Идем дальше. В пределах есть не только один замечательный предел, а их оказывается два. Сейчас мы не только разберемся с понятием второго замечательного предела, но и научимся его решать. Второй замечательный предел существует для решения неопределенности вида 1^? В математике она записывается так а(х) ->? Такой вид данной функции самый простой, есть функции и сложнее, самое важное, чтобы она стремилась к бесконечности.
Следует запомнить, что как только наш предел оказывается в степени, это главный знак того, что такое выражение нам поможет решить второй замечательный предел. Сейчас мы подробнее остановимся на примере, который встречается очень часто, советую его изучить детально.
Дан нам предел: lim+(х->?)?((x-2)/(x+1))^(2x+3) ?
Этот предел вида (?/?)^?Второй замечательный предел такой вид не решает, как мы знаем, он решает вид 1^?, для этого нашу функцию необходимо преобразить в другой вид. В знаменателе мы видим х+1, значит, в числителе тоже должно быть х+1
lim+(х->?)?((х+1-3)/(х+1))^(2х+3) ?
Теперь нам необходимо почленно разделить числитель на знаменатель. Тогда же наше основание будет похоже на нашу неопределенность, но там знак минус, который нам мешает. Делаем дробь с тремя этажами и видим нашу неопределённость ?/?. А такую функцию мы уже умеем вычислять. Делим обе части дроби на х, и готово. У нас получился ответ.
Хочу поздравить вас, дорогие читатели, вы научились решать пределы. Надеюсь, моя статья была познавательной, увлекательной и интересной!
